13世纪是中国传统筹算数学发展的顶峰，在列方程、解方程、数学文本化和符号化方面均取得了划时代的成就。在诸多璀璨的算学明星之中，秦九韶无疑是十分突出的一位，秦氏著作《数书九章》也被学界公认为在中国数学史上可以与《九章算术》相媲美的名篇。
复比例算法，俗称“燕翅算法”（中国国家图书馆藏赵琦美抄本）。资料图片
秦九韶，字道古，宋代四川人。嘉定元年（1208）三月出生于普州（今四川安岳），咸淳四年（1268）三月卒于广东梅州。按秦氏《数书九章》自序云：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。”九韶的父亲秦季槱是宋朝官员，一度在京城为官，九韶陪伴左右，得以向太史学习。古之太史不仅记人事，更需通历法。秦氏《数书九章》记载中最重要的数学成就——大衍总数术（即今所谓“中国剩余定理”）实来自于太史。按钱宝琮先生（1892—1974）的研究，自汉代起中国的历算家求解上元（即历法之起点），就需要求解同余方程组。李继闵先生（1938—1993）通过研究指出，历算家求解上元用的是大衍总数术之核心程序，即大衍求一术，而非总术。秦九韶自序又云：“独大衍法不载《九章》，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者，误也。” 所谓方程，按今天的话说就是解线性方程组（载于《九章算术》），故此处秦氏指出历家误把大衍作方程。因此，学界一度相信秦之所云，把方程与大衍区分开来。笔者近年来根据原始文献重新审视方程发现，《九章算术》方程确实可以用来求解上元，因此历家所云不误。秦氏为了凸显其个人贡献，改进历家方程之后，将其改名为大衍。这一做法实际打破了上元算法仅在师徒间传授、用而不书的潜规则。
所谓大衍，其名实际来自《周易》筮法“大衍之数五十，其用四十有九”。按秦九韶自序云：“圣有大衍，微寓于《易》。”《数书九章》第一问“蓍卦发微”即以大衍总数术解《周易》大衍筮法。秦氏主要生活于宋理宗时代，其时道学盛行，秦氏亦受此风气影响，欲以算学攀附易学。总之，秦氏从太史处习得历家之方程，并将之改进；又为了附会《周易》，改名为大衍，更进一步以算筹当蓍草，以大衍注解《周易》。秦氏天分极高，其“蓍卦发微”问设计极为巧妙（大衍总数术为此问之答案之一），但仍漏出了编造之印记（即所谓一一数之得数若干，答数既得，之后又何必求之）。故清四库馆臣直云：“（秦九韶）欲以新术改《周易》揲蓍之法，殊乖古义。”
秦九韶的目的就是把算学“进之于道”。按秦氏自序云：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十禩。心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。” 按严敦杰先生（1917—1988）的考证，宋理宗端平二年（1235）蒙古人攻蜀，“狄患”即指此。由端平二年至淳祐七年的十余年间，秦氏有几项低阶官位的任职，遂“心槁气落”，但这也是其积累数学知识的重要时期。淳祐四年（1244），朝廷征召民间人士改历；同年，秦母去世，九韶丁母忧回湖州守孝。在此期间，秦氏“积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之”，由此在淳祐七年完成了《数书九章》。该书完成后第二年，宋廷再次征召民间人士改历，九韶“以历学荐于朝，得对，有奏稿及所述《数学大略》”（宋周密语）。因此，很可能秦氏将《数书九章》中与天文历算有关的部分（即前两类“大衍”与“天时”）作为奏稿进之于朝廷。遗憾的是，从《宋史·律历志》对开禧历（秦氏之所学实为开禧历）之后的记载中很难看出秦九韶的影响。不过秦氏甚会推广，时人藏书家陈振孙曾与其有当面交流，对之历法水平甚为赞服，云“秦博学多能，尤遂历法。凡近世诸历，皆传于秦。所言得失，亦悉著其语云”。
秦九韶完成《数书九章》之时，“立术具草，间以图发之”，未曾预料到这实为其在数学上最大之成就。秦氏先以筹码表达数字，进而在算图中以线条连接数字表达运算。笔者按秦书赵钞本算图之中726根连线分析，总计700根连线用以表达加减乘除运算，而其中超过90%有统一的书写规则，即单波浪线连接两数之首尾，表乘法；单虚线连接两数的首尾，表除法；双实线连接两数的尾尾，表加法；单实线连接两数的尾尾，表减法。由此，秦氏实际建立起中国数学的一套加减乘除符号。从世界数学史的角度来看，数学的符号化和文本化是古代数学通向现代数学的必经之路（如西方在文艺复兴时期完成了符号化进程），因此秦氏所为，实际开启了中国数学向现代数学转变的伟大历程。
与秦九韶同时代的刘克庄（1187—1269）《缴秦九韶知临江军奏状》云秦氏“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，又云“其人不孝不义不仁不廉”，稍晚的周密谓之 “喜奢好大，嗜进谋身”。这些对秦氏人品负面的评价一直流传至今，故学术界一直认为，对秦氏要把学问和人品分开来看。近年来，郭书春先生多次撰文，认为刘克庄、周密与秦九韶实际是政敌，其言论不足为信；继而以秦氏《数书九章》自序的九段系文为证，说明秦氏实际上是爱国爱民、主张施行仁政的算学家。
但是，既然刘、周之言论不可信，那秦氏自论又何以可信？钱宝琮认为刘克庄所论“都有事实可举，并不是空言诬蔑”，笔者认为此说较为公允。实际上，秦氏生平事迹与数学成就无关的部分并不是学界关注的重点，而从其改方程为大衍、以方程解《周易》，又以之进于朝廷来看，确实可谓“喜奢好大，嗜进谋身”。秦氏超强的进取心用在科学研究上，固然是好的，但将之用于其他方面，引起非议亦恐难避免。因此，笔者认为，对秦氏人品好坏的讨论应转变为对其性格特征的刻画，方是这一议题今后讨论之应有方向。
作者系中山大学哲学系暨逻辑与认知研究所教授
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